高三数学(理)试题答案 第1页(共6页) 合肥市2015年高三第二次教学质量检测 数学试题(理)参考答案及评分标准 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C C D B D A B 二、填空题: 11. 12. 13. . 14.- 3 3 . 15.②③⑤. 三、解答题: 16.解(Ⅰ)由题意知: , ∴ ,即 ∴ ,即 , 又 ,∴ . ………6分 (Ⅱ)高三数学(理)试题答案 第2页(共6页) ∵ 0<B< π 2 0<C< π 2 B+C= 2π 3 ì î í ,∴ ∴ ,即 的取值范围是 . ………12分 17.(Ⅰ) . ………6分 (Ⅱ) 随机变量 的分布列为 10000 5000 2500 1250 625 P 所以 期望 . ………12分高三数学(理)试题答案 第3页(共6页) 18.解(Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1 ∴CD⊥BE, ………3分 又∵E 为线段CC1的中点,由已知易得 ∽ ∴ , ∴ , 故BE⊥B1C, 且 ∴BE⊥平面B1CD, 又 平面 ∴平面 平面B1CD. ………6分 (Ⅱ)以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,设AB= 则A1 、B 、E ∴ 、 设平面 A1BE 的法向量为 则 ,∴ 不妨令y=1 ∴ ,又底面A1B1C1D1的法向量为 ∴ 又 ,∴ ,∴高三数学(理)试题答案 第4页(共6页) ∴ ,∴ . ………12分 19.解(Ⅰ)由 得 ,又a≠0,故 , 当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数, ∴ ,即 ∴0<a≤2 当a<0时,不合题意 故 的取值范围为 . ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,当 时 即 则 ,得 ∴ 在 上为增函数,在 上为减函数, ∴ .………13分 20.解(Ⅰ) . ………6分 (Ⅱ)由题意知,当k1=0时,M 点的纵坐标为0,直线 MN 与y轴垂直,则 N 点的纵坐标为0, 故k2=k1=0,这与k2≠k1 矛盾. 当k1≠0时,直线PM:y=k1(x+2), 由 y=k1(x+2) x2 4 +y 2=1 ì î í ,得( 1 k2 1 +4)y 2- 4 k2 1 y=0,∴yM = 4k1 1+4k2 1高三数学(理)试题答案 第5页(共6页) ∴M( 2-8k2 1 1+4k2 1 , 4k1 1+4k2 1 ),同理 N( 2-8k2 2 1+4k2 2 , 4k2 1+4k2 2) 由直线 MN 与y 轴垂直,则 4k1 1+4k2 1 = 4k2 1+4k2 2 ∴4k1k2 2-4k2k2 1+k1-k2=0⇒(k2-k1)(4k1k2-1)=0 ∵k1≠k2,∴4k1·k2=1 即k1·k2= 1 4 ………13分 21.解(Ⅰ) ,设切点 , ∴切线方程为: , 令 ,得 ,令 ,得 , ∴ ,即 . ………6分 (Ⅱ)证明:(1)先证T2 n< T1 2 + T2 3 +…+ Tn-1 n + 1 2 ∵T2 n=(Tn-1+ 1 2n )2⇒T2 n-T2 n-1= Tn-1 n + 1 4n2(n∈N∗ ,n≥2) ∴T2 n-T2 n-1= Tn-1 n + 1 4n2< Tn-1 n + 1 4n(n-1) ,(n∈N∗ ,n≥2) ∴T2 n-T2 1< T1 2 + T2 3 +…+ Tn-1 n + 1 4 ( 1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 n(n-1) ) ∴T2 n< T1 2 + T2 3 +…+ Tn-1 n + 1 4 (1- 1 n )+ 1 4 = T1 2 + T2 3 +…+ Tn-1 n + 1 2 - 1 4n ∴T2 n< T1 2 + T2 3 +…+ Tn-1 n + 1 2 ………9分 (2)再证 T2 2 + T3 3 +…+ Tn n <T2 n高三数学(理)试题答案 第6页(共6页) 因为n≥2,由Tn=Tn-1+ 1 2n ,得到 ∵T2 n-T2 n-1= Tn-1 n + 1 4n2,且 Tn n = Tn-1 n + 1 2n2, ∴ Tn n = Tn-1 n + 1 2n2=T2 n-T2 n-1- 1 4n2+ 1 2n2=T2 n-T2 n-1+ 1 4n2, ∴ T2 2 + T3 3 +…+ Tn n =T2 n-T2 1+ 1 4 1 22+ 1 32+…+ 1 n2 æ è ö ø =T2 n+ 1 4 -1+ 1 22+ 1 32+…+ 1 n2 æ è ö ø 由(1)证明可知 1 22+ 1 32+…+ 1 n2 æ è ö ø <1- 1 n <1, ∴当n∈N∗ 且n≥2时, T2 2 + T3 3 +…+ Tn n <T2 n+ 1 4 (-1+1)=T2 n 综合(1)(2)得,当n∈N∗ 且n≥2时, 有 T2 2 + T3 3 +…+ Tn n <T2 n< T1 2 + T2 3 +…+ Tn-1 n + 1 2 ………13分      
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